Repaso de propiedades elementales.
Para entablar las propiedades elementales del álgebra, estamos obligados a dejar un breve pero completo resumen de las propiedades elementales. Sin más preámbulo aquí están.
Suma:
Conmutatividad.
La conmutatividad refiere al orden de las operaciones y como estas no alteran al resultado final. Si bien en la suma esto es una obviedad, esta propiedad tiene su aparición en varias de las operaciones.
a + b = b +a
ó
4 + 3 = 3 + 4 = 7
Asociatividad.
Básicamente, cuando 3 o más cuerpos operan, el resultado de la operación no depende del orden (similar a la comnutatividad)
a + ( b + c ) = b + ( a + c ) = c + ( a + b )
Numéricamente es más sencillo, simplemente imagine la suma de tres cantidades cuales sean.
Elemento Neutro.
El elemento neutro refiere a una combinación que no hace más que dejar los cuerpos que se operan en cuestión sin cambio alguno.
Si hablamos de sumar o restar y nos preguntamos como puedo sumar dos números para obtener como resultado a uno de los números que sume ¡No queda más que pensar en + 0!
a + 0 = a
Elemento Simétrico.
En el elemento neutro, analizamos la manera de que al operar dos números, obtengamos como resultado a uno de esos dos. En pocas palabras 'dejar al número tal y como esta, que de el mismo número'. El elemento simétrico es similar, solo que en lugar de obtener el mismo número, aquí el resultado es 0.
a + (-a) = 0 (A una cantidad A se le resta la misma cantidad)
Resta:
No es comnutativa.
Esto es intuitivo. a - b =/= b - a
8 - 2 = 6
2 - 8 = -6
Con un argumento similar al previo, notamos que la resta tampoco es asociativa.
Esta claro que la resta no es más que la suma en sentido contrario (matemáticamente se les dice operaciones inversas), de modo que el elemento neutro y elemento simétrico son iguales que en la suma.
a - 0 = a
a - (-a) = 0
Multiplicación:
Conmutatividad
a . b = b . a
Esta propiedad deriva del hecho de que multiplicar no es más que sumar repetidas veces.
Asociatividad
a . (b . c) = b . (a . c)
Idem al item anterior, este tiene una implicara una propiedad bastante fuerte en el álgebra. La propiedad distributiva
a . ( b + c ) = a . b + a . c
(Esta propiedad nos dice que el producto de una suma es igual a la suma de sus productos, obviamente la suma puede ser una resta también, y la multiplicación puede ser una división)
a) a . ( b - c ) = a . b - a . c
b) a : ( b + c ) = b/a + c/a
Más adelante volveremos sobre esta propiedad.
Elemento Neutro.
a . 1 = a
Elemento Simétrico
a . 1/a = 1 Esto es igual que pensar en a : a
División:
Primero que todo, notemos que la división no es ni conmutativa ni asociativa, pero las propiedades que nos importan son el elemento neutro y el elemento simétrico.
Elemento neutro.
a : 1 = a a/1 = a
Esta conclusión resulta en ocasiones visualizar más sencillamente con el siguiente ejemplo:
'Si tengo 4 manzanas y debo repartirselas a una sola persona, ¿Cuántas manzanas debo darle entonces?'
Análogamente, podemos ver que todo numero entero esta siendo dividido por un 1 da como resultado el mismo número (Es recomendable recordar esto a la hora de operar con números fraccionarios)
Elemento Simétrico.
Idem a la multiplicación.
a : a = 1
Importante
La división es la más problemática de estas operaciones, puesto que posee una obstrucción. Hasta ahora, cualquier número puede sumar otro, cualquiera puede restar y cualquier número puede multiplicar a otro cualquiera que sea. Sin embargo la división rompe esta regla.
No puedo dividir a un número por cualquiera, no se puede dividir por cero.
Esta regla es importantisima, más adelante en el estudio de funciones esta regla que de momento puede parecer una obstrucción, tendrá mayor sentido.
En resumen:
Suma:
Conmutatividad.
La conmutatividad refiere al orden de las operaciones y como estas no alteran al resultado final. Si bien en la suma esto es una obviedad, esta propiedad tiene su aparición en varias de las operaciones.
a + b = b +a
ó
4 + 3 = 3 + 4 = 7
Asociatividad.
Básicamente, cuando 3 o más cuerpos operan, el resultado de la operación no depende del orden (similar a la comnutatividad)
a + ( b + c ) = b + ( a + c ) = c + ( a + b )
Numéricamente es más sencillo, simplemente imagine la suma de tres cantidades cuales sean.
Elemento Neutro.
El elemento neutro refiere a una combinación que no hace más que dejar los cuerpos que se operan en cuestión sin cambio alguno.
Si hablamos de sumar o restar y nos preguntamos como puedo sumar dos números para obtener como resultado a uno de los números que sume ¡No queda más que pensar en + 0!
a + 0 = a
Elemento Simétrico.
En el elemento neutro, analizamos la manera de que al operar dos números, obtengamos como resultado a uno de esos dos. En pocas palabras 'dejar al número tal y como esta, que de el mismo número'. El elemento simétrico es similar, solo que en lugar de obtener el mismo número, aquí el resultado es 0.
a + (-a) = 0 (A una cantidad A se le resta la misma cantidad)
Resta:
No es comnutativa.
Esto es intuitivo. a - b =/= b - a
8 - 2 = 6
2 - 8 = -6
Con un argumento similar al previo, notamos que la resta tampoco es asociativa.
Esta claro que la resta no es más que la suma en sentido contrario (matemáticamente se les dice operaciones inversas), de modo que el elemento neutro y elemento simétrico son iguales que en la suma.
a - 0 = a
a - (-a) = 0
Multiplicación:
Conmutatividad
a . b = b . a
Esta propiedad deriva del hecho de que multiplicar no es más que sumar repetidas veces.
Asociatividad
a . (b . c) = b . (a . c)
Idem al item anterior, este tiene una implicara una propiedad bastante fuerte en el álgebra. La propiedad distributiva
a . ( b + c ) = a . b + a . c
(Esta propiedad nos dice que el producto de una suma es igual a la suma de sus productos, obviamente la suma puede ser una resta también, y la multiplicación puede ser una división)
a) a . ( b - c ) = a . b - a . c
b) a : ( b + c ) = b/a + c/a
Más adelante volveremos sobre esta propiedad.
Elemento Neutro.
a . 1 = a
Elemento Simétrico
a . 1/a = 1 Esto es igual que pensar en a : a
División:
Primero que todo, notemos que la división no es ni conmutativa ni asociativa, pero las propiedades que nos importan son el elemento neutro y el elemento simétrico.
Elemento neutro.
a : 1 = a a/1 = a
Esta conclusión resulta en ocasiones visualizar más sencillamente con el siguiente ejemplo:
'Si tengo 4 manzanas y debo repartirselas a una sola persona, ¿Cuántas manzanas debo darle entonces?'
Análogamente, podemos ver que todo numero entero esta siendo dividido por un 1 da como resultado el mismo número (Es recomendable recordar esto a la hora de operar con números fraccionarios)
Elemento Simétrico.
Idem a la multiplicación.
a : a = 1
Importante
La división es la más problemática de estas operaciones, puesto que posee una obstrucción. Hasta ahora, cualquier número puede sumar otro, cualquiera puede restar y cualquier número puede multiplicar a otro cualquiera que sea. Sin embargo la división rompe esta regla.
No puedo dividir a un número por cualquiera, no se puede dividir por cero.
Esta regla es importantisima, más adelante en el estudio de funciones esta regla que de momento puede parecer una obstrucción, tendrá mayor sentido.
En resumen:
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